Дано: в прямоугольном треугольнике АВС катет АС равен 7, а BC = 4AB.
а) Найдем длины сторон треугольника АВС.
Так как BC = 4AB, то AB = BC / 4 = 4/4 = 1.
Используя теорему Пифагора, найдем длину гипотенузы АВ:
AB^2 + AC^2 = BC^2.
1^2 + 7^2 = BC^2.
1 + 49 = BC^2.
BC^2 = 50.
BC = √50 = 5√2.
Теперь можно найти периметр треугольника АВС:
P = AB + AC + BC = 1 + 7 + 5√2 = 8 + 5√2.
б) Площадь треугольника АВС можно найти, используя формулу для площади треугольника:
S = (1/2) * AB * AC = (1/2) * 1 * 7 = 7/2 = 3.5.
в) Чтобы найти радиус описанной окружности треугольника АВС, воспользуемся формулой:
R = (AB * AC * BC) / (4 * S).
R = (1 * 7 * 5√2) / (4 * 3.5).
R = (35√2) / 14 = 5√2 / 2.
Итак, периметр треугольника АВС равен 8 + 5√2, площадь треугольника равна 3.5, а радиус описанной окружности равен 5√2 / 2.