1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AD – биссектриса, то угол BAD равен углу CAD. Из условия задачи AN = AB, следовательно, угол NAB равен углу NBA. Так как угол В равен 85°, угол ВAN равен (180° – 85°)/2 = 47.5°. Тогда угол CAN равен 85° – 47.5° = 37.5°. Обратим внимание, что треугольник CDN – прямоугольный, так как углы CND и CDN дополняются до 90°. Таким образом, угол CDN равен 90° – 37.5° = 52.5°.
2. Пусть углы треугольника равны x, 2x и 6x. Сумма всех углов треугольника равна 180°, поэтому x + 2x + 6x = 180°. Получаем 9x = 180°, откуда x = 20°. Больший угол треугольника равен 6x = 6 * 20° = 120°.
3. Рассмотрим треугольник ABC с углами 47°, 103° и x (угол между прямыми). Так как высоты треугольника перпендикулярны сторонам, угол между прямыми, содержащими высоты, равен углу между этими сторонами. Таким образом, угол между прямыми, содержащими высоты, выходящие из вершин с углами 47° и 103°, равен x.
4. Рассмотрим треугольник ABC. Согласно теореме косинусов в треугольнике ABC:
cos C = (AC^2 + BC^2 – AB^2) / (2 * AC * BC)
Подставляем известные значения:
cos C = (8^2 + 10^2 – 14^2) / (2 * 8 * 10) = (64 + 100 – 196) / 160 = -32/160 = -1/5
Ответ: cos C = -1/5.