1. Вычислить производную функции: a) y = e^(-x^2)In x; b) x sin y – cos y + cos 2y = 0. 2. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 = 2а: y = 8a^3/4a^2 + x^2 3. Исследовать функцию и построить ее график: у = корень кубический((x +2)^2) + корень кубический(( (х – 2)^2).

1. a) Чтобы найти производную функции y = e^(-x^2)ln(x), используем правило дифференцирования произведения функций. Сначала найдем производную внутренней функции: y’ = ln(x) * (-2x) = -2xln(x). Затем найдем производную внешней функции: y’ = e^(-x^2) * (-2xln(x)). Таким образом, производная функции y = e^(-x^2)ln(x) равна y’ = -2xln(x)e^(-x^2).

б) Чтобы найти производную функции x sin(y) – cos(y) + cos(2y) = 0, сначала выразим y через x. Получим: sin(y) – cos(y) + cos(2y) = 0. Далее решая это уравнение, получим указание на тот факт, что y = arcsin(x). Теперь возьмем производную от обеих частей равенства с учетом того, что y = arcsin(x). Получим: d/dx(arcsin(x)) = d/dx(sin(y)). Производную arcsin(x) можно найти с помощью формулы производной обратной функции: d/dx(arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 – x^2). А производную sin(y) можно найти, используя цепное правило дифференцирования: d/dx(sin(y)) = cos(y) * dy/dx. Подставляем полученные выражения и получаем производную функции x sin(y) – cos(y) + cos(2y) = 0: cos(y) * dy/dx = 1 / sqrt(1 – x^2). Таким образом, производная функции равна dy/dx = (1 / sqrt(1 – x^2)) / cos(y).

2. Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = (8a^3) / (4a^2 + x^2) в точке с абсциссой x0 = 2a, сначала найдем производную функции y по x. Для этого используем правило дифференцирования частного функций. Получаем: y’ = ((4a^2 + x^2) * d/dx(8a^3) – (8a^3) * d/dx(4a^2 + x^2)) / (4a^2 + x^2)^2. Дифференцируем 8a^3 и 4a^2 + x^2: d/dx(8a^3) = 0, d/dx(4a^2 + x^2) = 2x. Подставляем полученные значения и значение x0 = 2a: y’ = (4a^2 + (2a)^2) * 2x / (4a^2 + (2a)^2)^2 = 2x / (4a^2 + 4a^2)^2 = x / (8a^2)^2 = x / 64a^4.

Теперь найдем значение функции в точке x0 = 2a: y0 = (8a^3) / (4a^2 + (2a)^2) = (8a^3) / (4a^2 + 4a^2) = (8a^3) / 8a^2 = a.

Уравнение касательной к графику функции y = (8a^3) / (4a^2 + x^2) в точке с абсциссой x0 = 2a имеет вид: y – y0 = y’ * (x – x0). Подставляем полученные значения: y – a = (x / 64a^4) * (x – 2a). Упрощаем выражение и получаем уравнение касательной: y = (1 / 64a^4) * (x^2 – 2ax + 2a^2 + 64a^5).

3. Чтобы исследовать функцию y = sqrt((x + 2)^2) + sqrt((x – 2)^2), сначала найдем область определения функции. Так как внутри корня стоит выражение, которое должно быть неотрицательным, то область определения функции – это все значения x, для которых (x + 2)^2 и (x – 2)^2 неотрицательны. Это означает, что x может принимать значения больше или равные -2 и меньше или равные 2.

Далее найдем производную функции y по x. Для этого применим правило дифференцирования корня и цепного правила дифференцирования. Получаем: y’ = (1/2) * (1/sqrt((x + 2)^2)) * 2(x + 2) + (1/2) * (1/sqrt((x-2)^2)) * 2(x – 2) = (x + 2) / sqrt((x + 2)^2) + (x – 2) / sqrt((x – 2)^2). Упрощаем выражение и получаем: y’ = 2x / sqrt((x + 2)^2) + 2 / sqrt((x + 2)^2) – 2 / sqrt((x – 2)^2).

Теперь найдем точки экстремума функции. Чтобы точка была экстремумом, производная в этой точке должна равняться нулю. Решим уравнение y’ = 0: 2x / sqrt((x + 2)^2) + 2 / sqrt((x + 2)^2) – 2 / sqrt((x – 2)^2) = 0. Упрощаем выражение и получаем: x / sqrt((x + 2)^2) + 1 / sqrt((x + 2)^2) – 1 / sqrt((x – 2)^2) = 0.

Построим график функции y = sqrt((x + 2)^2) + sqrt((x – 2)^2) и проанализируем его.