Чтобы определить, является ли отображение g: V4*V4 -> R билинейным, нужно проверить выполнение двух условий: линейности по первому и второму аргументам.
Проверим линейность отображения g по первому аргументу:
1) Для любых векторов u, v из V4 и для любого скаляра a из R должно быть выполнено, что g(u + v, y) = g(u, y) + g(v, y) и g(a*u, y) = a*g(u, y)
Для u, v из V4 и y из V4:
g(u + v, y) = ((u1 + v1)^2 + (u2 + v2)^2 + (u3 + v3)^2 + (u4 + v4)^2) + 2*(u1 + v1)^3*(y1^2 + y2^2 + y3^2 + y4^2) = (u1^2 + u2^2 + u3^2 + u4^2) + (v1^2 + v2^2 + v3^2 + v4^2) + 2*(u1^3 + u2^3 + u3^3 + u4^3 + 3*u1^2*v1 + 3*u1*v1^2 + 3*u2^2*v2 + 3*u2*v2^2 + 3*u3^2*v3 + 3*u3*v3^2 + 3*u4^2*v4 + 3*u4*v4^2)*(y1^2 + y2^2 + y3^2 + y4^2)
g(u, y) + g(v, y) = (u1^2 + u2^2 + u3^2 + u4^2) + 2*u1^3*(y1^2 + y2^2 + y3^2 + y4^2) + (v1^2 + v2^2 + v3^2 + v4^2) + 2*v1^3*(y1^2 + y2^2 + y3^2 + y4^2)
g(a*u, y) = (a*u1^2 + a*u2^2 + a*u3^2 + a*u4^2) + 2*(a*u1)^3*(y1^2 + y2^2 + y3^2 + y4^2) = a*(u1^2 + u2^2 + u3^2 + u4^2) + 2*a^3*u1^3*(y1^2 + y2^2 + y3^2 + y4^2)
Таким образом, отображение g(x,y) не является линейным по первому аргументу.
Аналогично можно проверить линейность по второму аргументу, но даже для первого аргумента отображение не является линейным.
Следовательно, отображение g(x, y) не является билинейным.