Доказательство:
1. Из условия задачи следует, что точка О – центр правильного треугольника ABC. Пусть сторона треугольника ABC равна a.
2. Поскольку треугольник ABC – равносторонний, то все его углы равны 60 градусов. Значит, плоскость ABC – горизонтальная плоскость.
3. Пусть точка M лежит за пределами плоскости ABC.
4. Построим прямую OM. Поскольку точка О является центром правильного треугольника ABC, то прямая ОМ будет проходить через центр треугольника ABC и, соответственно, будет проходить через точку O.
5. Рассмотрим треугольник ABM. Поскольку МА = МВ = MС, то треугольник ABM – равнобедренный. А значит, углы МАВ и МВА равны между собой.
6. Поскольку углы МАВ и МВА равны между собой, то отрезок МО будет являться биссектрисой этих углов. Но для равнобедренного треугольника биссектриса угла перпендикулярна основанию этого треугольника.
7. Итак, получаем, что прямая МО перпендикулярна стороне АВ треугольника ABM.
8. Но сторона АВ лежит в плоскости ABC.
9. Значит, получаем, что прямая МО перпендикулярна плоскости АВС.