На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для решения задачи нам понадобятся некоторые свойства равностороннего треугольника и определение скалярного произведения векторов.
1. Свойства равностороннего треугольника МНР:
– Все стороны равны между собой: МН = НР = РМ.
– Все углы равны 60 градусам.
2. Определение скалярного произведения:
Скалярное произведение двух векторов AB и CD вычисляется по формуле:
AB * CD = |AB| * |CD| * cos(θ),
где |AB| и |CD| – длины векторов, а θ – угол между ними.
Теперь рассмотрим каждый случай:
а) Скалярное произведение векторов HK-MP.
Прежде всего, найдем координаты векторов HK и MP.
Вектор HK можно представить как разность координат векторов H и K:
HK = (xH – xK, yH – yK).
Так как ХК является биссектриссой треугольника МНР, то координаты точки К будут (0, 0).
Из условия задачи МН = 2, соответственно, координаты точки H будут (2, 0).
Тогда вектор HK = (2 – 0, 0 – 0) = (2, 0).
Вектор MP можно представить как разность координат векторов M и P:
MP = (xM – xP, yM – yP).
Так как МР является биссектриссой треугольника МНР, то точки М и Р будут находиться на оси симметрии треугольника.
По свойствам равностороннего треугольника, эта ось является высотой и точкой пересечения высот в данном случае является точка Н.
Отсюда следует, что M и P будут лежать на одной прямой с НK и P будет делить МР в отношении 1:2.
То есть координаты P могут быть найдены следующим образом:
xP = (xM + 2xK) / 3,
yP = (yM + 2yK) / 3.
Из условия задачи, M = (0, √3), K = (0, 0).
Подставляем эти значения и находим координаты точки P:
xP = (0 + 2 * 0) / 3 = 0,
yP = (√3 + 2 * 0) / 3 = √3 / 3.
Тогда вектор MP = (0 – 0, √3 – √3 / 3) = (0, 2√3 / 3).
Теперь можно вычислить скалярное произведение векторов HK и MP:
HK * MP = |HK| * |MP| * cos(θ).
Очевидно, что угол θ между этими векторами равен 0 градусов, так как они коллинеарны.
Исходя из определения скалярного произведения и равенств |HK| = 2 и |MP| = 2√3 / 3, получаем:
HK * MP = 2 * (2√3 / 3) * cos(0) = (4√3 / 3) * 1 = 4√3 / 3.
б) Скалярное произведение векторов HK и HẺ.
Вектор HẺ можно представить как разность координат векторов H и НẺ:
HẺ = (xH – xНẺ, yH – yНẺ).
Так как НẺ является биссектриссой треугольника МНР, то точка НẺ будет лежать на оси симметрии треугольника и делить сторону МН пополам.
Значит, координаты точки НẺ будут (1, 0).
Тогда вектор HẺ = (2 – 1, 0 – 0) = (1, 0).
Опять же, вычисляем скалярное произведение векторов HK и HẺ:
HK * HẺ = |HK| * |HẺ| * cos(θ).
Угол θ между векторами HK и HẺ равен 60 градусов, так как это угол между биссектриссой НК и стороной треугольника МН.
Подставляем значения |HK| = 2 и |HẺ| = 1 в формулу:
HK * HẺ = 2 * 1 * cos(60) = 2 * 1 * 1/2 = 1.
в) Скалярное произведение векторов PM-PM.
В данном случае вектор PM равен нулю, так как это разность координат одной и той же точки P.
Поэтому скалярное произведение векторов PM и PM будет равно 0.
Это и есть ответы на поставленную задачу:
а) Скалярное произведение векторов HK-MP равно 4√3 / 3.
б) Скалярное произведение векторов HK и HẺ равно 1.
в) Скалярное произведение векторов PM-PM равно 0.
