3. Для нахождения расстояния от точки до плоскости воспользуемся формулой: d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), где точка М0 имеет координаты (-3, 1, 8), а плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где коэффициенты A, B, C, D в данном случае соответствуют коэффициентам уравнения плоскости.
1) Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2,1,4), М2(3,5,-2), М3(-7,-3,2):
– С помощью векторного произведения найдем вектор нормали к плоскости, для этого возьмем векторное произведение векторов М1М2 и М1М3.
Вектор М1М2 = (3-2,5-1,-2-4) = (1,4,-6)
Вектор М1М3 = (-7-2,-3-1,2-4) = (-9,-4,-2)
Вектор нормали будет равен векторуное произведению: N = М1М2 x М1М3 = (4*(-2) – (-4)*(-6), (-6)*(-9) – 1*(-2), 1*(-4) – 4*(-9)) = (-8 – 24, 54 – (-2), -4 – (-36)) = (-32,56,32)
– Найдем коэффициент D, подставив координаты одной из точек (например, М1) и вектор нормали в уравнение плоскости: 2*(-32) + 1*56 + 4*32 + D = 0
-64 + 56 + 128 + D = 0
D = -120
– Таким образом, уравнение плоскости будет иметь вид: -32x + 56y + 32z – 120 = 0
– Подставим значения координат точки М0 в формулу расстояния:
d = |-32*(-3) + 56*1 + 32*8 – 120| / sqrt(-32^2 + 56^2 + 32^2)
= (96 + 56 + 256 – 120) / sqrt(1024 + 3136 + 1024)
= 288 / sqrt(5184)
= 288 / 72
= 4 units
4. Для нахождения угла между плоскостями воспользуемся формулой: cosθ = |A1*A2 + B1*B2 + C1*C2| / sqrt((A1^2 + B1^2 + C1^2)*(A2^2 + B2^2 + C2^2)), где коэффициенты A1, B1, C1, A2, B2, C2 соответствуют коэффициентам уравнений плоскостей.
2) Угол между плоскостями x + y + 3z – 7 = 0 и 2y + z – 1 = 0:
– Приведем оба уравнения плоскостей к общему виду Ax + By + Cz + D = 0:
Первая плоскость: x + y + 3z – 7 = 0 => x + y + 3z + 0 = 7
Вторая плоскость: 0x + 2y + z + 0 = 1
– Сравним коэффициенты при переменных в обоих уравнениях:
A1 = 1, B1 = 1, C1 = 3
A2 = 0, B2 = 2, C2 = 1
– Подставим значения в формулу для нахождения угла:
cosθ = |1*0 + 1*2 + 3*1| / sqrt((1^2 + 1^2 + 3^2)*(0^2 + 2^2 + 1^2))
= |0 + 2 + 3| / sqrt(1 + 1 + 9)(0 + 4 + 1)
= |5| / sqrt(11 * 5)
= 5 / sqrt(55)
– Полученное значение необходимо округлить до более удобного вида или оставить в виде десятичной дроби, так как тут нет возможности точно узнать какое это значение в радианах.
5. Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости воспользуемся системой уравнений, где уравнение прямой задано параметрически, а уравнение плоскости задано общим видом.
3) Найдем точку пересечения прямой x-1=y-2=z-4 и плоскости 2y+z-1=0:
– Подставим параметрическое выражение прямой в уравнение плоскости:
2(y-2) + (z-4) – 1 = 0
2y + z – 4 – 4 + 1 = 0
2y + z – 7 = 0
– Уравнение прямой можно переписать в виде системы:
x-1 = y-2 = z-4
– Теперь, подставим выражение для y из первого уравнения системы в плоскость:
2(y-2) + (z-4) – 1 = 0
2(x-1-2) + (z-4) – 1 = 0
2x – 6 + z – 4 – 1 = 0
2x + z – 11 = 0
– Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (x, x-1, 11-2x).
Вектор пересечения будет: (x, x-1, 11-2x)