3. Окружность касается боковых сторон равнобедренного треугольника АВС и пересекает основание АС в точках Р и Т, причем РС : ТР = 1 : 2. Точка К – точка касания окружности и стороны ВС треугольника. Вычислите площадь треугольника АВС, если известно, что ВК = /3 см, BC = 3/3 см.

Пусть радиус окружности равен r, а сторона треугольника АВС равна b.

Заметим, что точка К делит сторону ВС на отрезки КВ и КС также в отношении 1:2. Так как ВК = /3 см, то КС = (2/3) * (3/3) = 2/3 см.

Треугольник КВС – прямоугольный треугольник, так как точка К является точкой касания окружности и стороны ВС, а радиус окружности является радиусом перпендикуляра к касательной.

По теореме Пифагора для треугольника КВС получаем:
КВ^2 + КС^2 = ВС^2,
(/3)^2 + (2/3)^2 = (3/3)^2,
1/9 + 4/9 = 9/9,
5/9 = 1.

Получили противоречие, поэтому такой треугольник не существует.

Ответ: такого треугольника не существует.

Шаги решения:
1. Обозначить радиус окружности как r и длину стороны треугольника АВС как b.
2. Найти длину отрезка КС, используя отношение касательных на основание треугольника АС.
3. Применить теорему Пифагора для нахождения длины стороны ВС треугольника КВС.
4. Заметить, что полученное уравнение противоречит действительным значениям длин сторон треугольника КВС.
5. Сделать вывод, что такого треугольника не существует.