Дано уравнение: 3tg(2x) – 2tg(x) – 1 = 0
Чтобы решить его, мы будем использовать несколько шагов:
1. Заменим tg(2x) на sin(2x)/cos(2x) и tg(x) на sin(x)/cos(x).
Получим: 3(sin(2x)/cos(2x)) – 2(sin(x)/cos(x)) – 1 = 0
2. Умножим всё уравнение на cos(2x)cos(x), чтобы избавиться от знаменателей.
Получим: 3sin(2x)cos(x) – 2sin(x)cos(2x) – cos(2x)cos(x) = 0
3. Применим тригонометрическую формулу синуса разности и косинуса суммы:
Получим: 3(2sin(x)cos(x)cos(x) – (1 – 2sin(x)sin(x))cos(x)) – (1 – 2sin(x)sin(x))cos(x) = 0
4. Приведем подобные члены и упростим выражение:
Получим: 6sin(x)cos^2(x) – 2cos^2(x) + 2sin^2(x)cos(x) – cos(x) = 0
5. Перепишем уравнение в терминах одной переменной:
Получим: 6sin(x)cos^2(x) + 2sin^2(x)cos(x) – 3cos^2(x) – cos(x) = 0
6. Факторизуем выражение и вынесем общий множитель:
Получим: (sin(x) + 1)(2sin(x)cos(x) – cos(x) – 1) = 0
7. Разобьем полученное уравнение на две части и решим их отдельно:
a) sin(x) + 1 = 0: sin(x) = -1. Решением будет x = π + 2πn, где n – целое число.
b) 2sin(x)cos(x) – cos(x) – 1 = 0: вынесем общий множитель cos(x) и решим полученное квадратное уравнение:
Получим: cos(x)(2sin(x) – 1) – 1 = 0
Два случая:
– cos(x) = 0: решение будет x = π/2 + πn, где n – целое число.
– 2sin(x) – 1 = 0: решение будет sin(x) = 1/2. Решениями будут x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn, где n – целое число.
Таким образом, решениями уравнения 3tg(2x) – 2tg(x) – 1 = 0 будут все значения x, удовлетворяющие следующим условиям: x = π/6 + 2πn, x = 5π/6 + 2πn, x = π/2 + πn, x = π + 2πn, где n – целое число.