Для доказательства того, что точка O является центром окружности, описанной около треугольника ABC, нам необходимо показать, что все стороны треугольника ABC равны между собой и равны радиусу окружности, а также что точка O лежит на перпендикуляре, опущенном из вершины треугольника ABC на плоскость ABC.
Первым шагом рассмотрим стороны треугольника ABC. Поскольку точки O, A, B и C находятся на равном удалении от точки D (так как OA=OC=OB=радиус), то стороны треугольника ABC равны между собой, так как уголы между сторонами равны (так как AD=BD=CD). Давайте обозначим длину любой из сторон треугольника ABC как r.
Вторым шагом рассмотрим перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника ABC на плоскость ABC. Поскольку O лежит на перпендикуляре, а AD=BD=CD=r, то O также находится на равном удалении от всех трех вершин треугольника ABC, а следовательно, O лежит на высоте (перпендикуляре, опущенном из вершины) треугольника ABC.
Таким образом, все стороны треугольника ABC равны r, точка O лежит на высоте треугольника ABC, и значит, O является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC.