Для решения задачи, мы можем использовать следующие шаги:
1. Найдем координаты точки N. Так как N – середина ребра BB1, соединяющего точки B и B1, мы можем найти среднее значение координат B и B1 для каждой из осей x, y и z. В данном случае, учитывая, что координаты B (x, y, z) = (1, 0, 1) и B1 (x, y, z) = (1, 1, 1), мы получим координаты N равными ((1+1)/2, (0+1)/2, (1+1)/2) = (1, 0.5, 1).
2. Найдем координаты точки M. Так как M – середина отрезка BD, мы можем найти среднее значение координат B и D для каждой из осей x, y и z. В данном случае, учитывая что координаты B (x, y, z) = (1, 0, 1) и D (x, y, z) = (0, 0, 1), мы получим координаты M равными ((1+0)/2, (0+0)/2, (1+1)/2) = (0.5, 0, 1).
3. Найдем вектор, соединяющий точки N и M. Для этого вычислим разность координат точек N и M в каждой из осей x, y и z. В данном случае, (0.5-1, 0-0.5, 1-1) = (-0.5, -0.5, 0).
4. Построим вектор, параллельный прямой, содержащей отрезок MN. Так как прямая, содержащая отрезок MN, проходит через начало координат (0, 0, 0), направление этой прямой будет совпадать с направлением вектора, найденного в предыдущем шаге. Таким образом, вектор, параллельный прямой MN, будет равен (-0.5, -0.5, 0).
5. Найдем нормаль к плоскости A1B2C1D1. Плоскость A1B2C1D1 можно представить в виде векторного произведения векторов задающих две стороны этой плоскости. В данном случае, стороны A1B2 и A1C1 заданы векторами A1B2 = (1, 0, 0) и A1C1 = (0, 1, 0). Найдем векторное произведение этих векторов: A1B2 × A1C1 = (0, 0, -1).
6. Вычислим косинус угла между вектором, параллельным прямой MN, и нормалью к плоскости A1B2C1D1 по формуле скалярного произведения двух векторов: cos(a) = (вектор, параллельный прямой MN) · (нормаль плоскости A1B2C1D1) / (длина вектора, параллельного прямой MN) * (длина нормали к плоскости A1B2C1D1).
7. Возведем полученное значение косинуса в квадрат и найдем tg² a = (1 – cos² a) / cos² a.
Итак, найдем результат решения задачи в соответствии с данными шагами.