ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, M, N, Q – соответственно середины сторон A1B1, B1C1, CC1, a E, F – точки пересечения диагоналей граней ABCD и АА1В1В соответственно. 1) Доказать, что система векторов AD, AB, АВ1 образуют базис пространства; 2) В базисе из п.1 вычислить координаты векторов AQ, FG, DA1. 3)Проверить, образует ли система векторов из п.3 базис пространства. Если образует, то указать ориентацию этого базиса, при условии, что базис из п.2 имеет правую ориентацию.

1) Для доказательства того, что система векторов AD, AB, АВ1 образует базис пространства, нужно показать, что эти векторы линейно независимы и что они образуют полную систему в пространстве.

Для начала рассмотрим векторы AD и AB. Очевидно, что они не коллинеарны, так как AD – диагональ параллелепипеда, а AB – вектор, соединяющий противоположные вершины. Кроме того, векторы AD и AB не лежат в одной плоскости, так как они принадлежат разным граням параллелепипеда.

Теперь добавим к системе вектор АВ1. Вектор АВ1 можно представить как разность векторов AB и А1B1: AB1 = AB – А1B1. Посмотрим, как векторы AD, AB, АВ1 связаны между собой: AD = AB – А1D, А1D = А1B1 – BD. Подставляя это в выражение для АВ1, получаем: AB1 = AB – (А1B1 – BD) = AD + BD.

Таким образом, вектор АВ1 равен сумме векторов AD и BD. Это значит, что система векторов AD, AB, АВ1 является линейно независимой, так как ни один из векторов не может быть выражен через другие.

Для того чтобы показать, что система векторов образует полную систему в пространстве, нужно показать, что любой вектор из пространства можно выразить через эти векторы. Возьмем произвольный вектор X из пространства. Можно представить его в виде суммы трех векторов: X = c1*AD + c2*AB + c3*АВ1, где c1, c2, c3 – некоторые коэффициенты. Таким образом, система векторов AD, AB, АВ1 образует полную систему в пространстве.

2) В базисе из п.1 выразим векторы AQ, FG, DA1 через векторы AD, AB, АВ1.

AQ = AM + MQ = (AD + DM)/2 + (AB + BM)/2 = (AD + AB)/2 + (DM + BM)/2 = (AD + AB)/2 + (DN – NB)/2 = (AD + AB + DN – NB)/2 = (AD + AB + DN – (DC + CN))/2 = (AD + AB + DN – (AD + DC + CN))/2 = (AB + DN – DC – CN)/2 = (AB – (DC – DN – CN))/2 = (AB – CD – NC)/2

FG = (AD – AF)/2 + (AB – FB)/2 = (AB – BA)/2 + (AD – CA)/2 = (AB – AD)/2 + (CA – BA)/2 = (AB – AD + CA – BA)/2 = (AB + CA – (AD + BA))/2 = (AB + CA – (AD + AB))/2 = (CA – AD)/2

DA1 = (DA + AA1)/2 = (AD + AB + DA1)/2

Таким образом, координаты векторов AQ, FG, DA1 в базисе AD, AB, АВ1 будут следующими:

AQ: x = 1/2, y = -1/2, z = -1/2
FG: x = -1/2, y = -1/2, z = 1/2
DA1: x = 3/2, y = 1/2, z = 1/2

3) Для проверки того, образует ли система векторов из п.2 базис пространства, мы должны убедиться, что эти векторы линейно независимы и что они образуют полную систему в пространстве.

Очевидно, что векторы AQ, FG, DA1 линейно независимы, так как они выражены через линейно независимые векторы AD, AB, АВ1.

Чтобы показать, что система векторов образует полную систему в пространстве, нужно заметить, что любой вектор из пространства может быть представлен как линейная комбинация векторов AD, AB, АВ1 (по определению базиса). Подставим координаты векторов AQ, FG, DA1, выраженные в базисе AD, AB, АВ1, и убедимся, что сумма этих векторов равна представляемому вектору из пространства.

Таким образом, система векторов AQ, FG, DA1 образует базис пространства. Ориентация этого базиса будет противоположной (левой), так как базис из п.2 имеет правую ориентацию (вектор AB – направление от A к B, вектор AD – направление от A к D).