АВС – прямоугольный треугольник с катетами АС = 5 и ВС = 12. Окружность, центр которой лежит на стороне АС, касается гипотенузы АВ в точке К и катета Вс в точке С. Найдите радиус этой окружности.

Обозначим радиус окружности как r. Заметим, что точка К является центром окружности, касающейся гипотенузы АВ.
Треугольник АКВ – прямоугольный, поэтому применим теорему Пифагора:
АК² + ВК² = АВ²
Так как ВК = r, АК = АС – КС = (5 – r), и АВ = √(5² + 12²) = 13, получаем:
(5 – r)² + r² = 13²
25 – 10r + r² + r² = 169
2r² – 10r – 144 = 0
Решим квадратное уравнение:
r² – 5r – 72 = 0
(r + 8)(r – 9) = 0
Решениями этого уравнения являются r = -8 и r = 9. Очевидно, что радиус отрицательный быть не может, поэтому реальным значением радиуса окружности является r = 9.

Таким образом, радиус этой окружности равен 9.