Обозначим радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ABC и BED, как R1 и R2 соответственно.
Проверим, что треугольники ABC и BDE подобны.
Используем следующие факты:
1) Радиус окружности, проведенной через две вершины треугольника, вдоль третьей стороны равен половине этой стороны.
2) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме квадратов катетов.
Применяя эти факты к треугольнику ABC, получим следующие равенства:
AC = 2R1,
AB^2 = BC^2 + AC^2,
AB^2 = BC^2 + (2R1)^2,
AB^2 = BC^2 + 4R1^2.
Аналогично, для треугольника BED, получим:
ED = 2R2,
EB^2 = BD^2 + ED^2,
EB^2 = BD^2 + (2R2)^2,
EB^2 = BD^2 + 4R2^2.
Так как треугольники ABC и BDE подобны, их стороны пропорциональны. То есть,
BD/BC = R2/R1.
Или, заменив BC на AB в предыдущем уравнении,
BD/AB = R2/R1.
Также изначально дано, что R1 = R2, поэтому последнее уравнение становится
BD/AB = 1.
Заметим, что в прямоугольном треугольнике ABED, точка D находится посередине гипотенузы AB. Другими словами, точка D делит AB на две равные части. То есть,
AD = DB.
Теперь рассмотрим отношение BD/AB:
BD/AB = AD/AB + DB/AB = AD/AB + 1.
Из уравнения BD/AB = 1 следует, что:
AD/AB + 1 = 1,
AD/AB = 0.
Так как AD/AB = 0, то AD = 0. Из предыдущего уравнения AD = DB следует, что DB = 0, то есть точка D – середина гипотенузы AB.
Таким образом, мы доказали, что точка D – середина гипотенузы треугольника ABC.