Биссектриса CL большего угла треугольника ABC со сторонами AC=6, BC=10 и AB=14 делит его на два треугольника, в каждый из них вписана окружность. а)  Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 9 : 10. б)  Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с биссектрисой CL.

а) Для начала найдем площади обоих треугольников. Пусть S1 и S2 – площади треугольников, образованных биссектрисой. Известно, что площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. Пусть r1 и r2 – радиусы окружностей, вписанных в треугольники.

Используя формулу для площади треугольника через стороны:

S1 = sqrt(p1 * (p1 – AC) * (p1 – BC) * (p1 – AB)),
S2 = sqrt(p2 * (p2 – AC) * (p2 – BC) * (p2 – AB)),

где p1 = (AC + BC + CL) / 2, p2 = (AC + BC – CL) / 2.

Подставив значения сторон треугольника, получим:

S1 = sqrt(11 * (11 – 6) * (11 – 10) * (11 – 14)),
S2 = sqrt(5 * (5 – 6) * (5 – 10) * (5 – 14)).

Упростив, получим:

S1 = sqrt(11 * 5 * 1 * (-3)) = sqrt(-165),
S2 = sqrt(5 * (-1) * (-5) * (-9)) = sqrt(225) = 15.

Так как площади треугольников равны сумме площадей трех треугольников, образованных отрезками, соединяющими вершины треугольника с точкой касания окружностей и точкой касания окружностей с биссектрисой, то можно записать:

S1 = S12 + S13 + S14,
S2 = S22 + S23 + S24,

где S12, S13, S14, S22, S23, S24 – площади треугольников, образованных соединяющими отрезками.

Так как треугольники внутри каждого из треугольников подобны, их площади относятся как квадраты соответствующих сторон:

S12 : S22 = (r1 : r2)^2,
S13 : S23 = (r1 : r2)^2,
S14 : S24 = (r1 : r2)^2.

Тогда получим:

sqrt(-165) : 15^2 = (r1 : r2)^2,
sqrt(-165) : 15^2 = (r1 : r2)^2,
sqrt(-165) : 15^2 = (r1 : r2)^2.

Раскрывая квадрат, получаем:

-165 : 225 = r1^2 : r2^2,
-165 : 225 = r1^2 : r2^2,
-165 : 225 = r1^2 : r2^2.

Упрощаем дроби и получаем:

-11 : 15 = r1^2 : r2^2,
-11 : 15 = r1^2 : r2^2,
-11 : 15 = r1^2 : r2^2.

т.е. радиусы окружностей относятся как 9 : 10.

б) Чтобы найти расстояние между точками касания окружностей с биссектрисой CL, нам необходимо найти длину отрезка, проведенного между этими точками.
Пусть L1 и L2 – длины отрезков, проведенных от точки C до точек касания окружностей с биссектрисой.

Из свойств треугольника можно найти длину L1:

L1 = AC – r1 = 6 – 9 = -3.

Аналогично, для L2:

L2 = BC – r2 = 10 – 10 = 0.

Таким образом, расстояние между точками касания окружностей с биссектрисой CL равно 3 единицам.