Через концы A и B и точку C отрезка AB, не пересекающего плоскость a, проведены прямые, перпендикулярные плоскости a и пересекающие еë в точках A1, B1, и C1 соответственно. Найдите отрезок CC1, если AA1=15см, BB1=25см, AC : BC = 1 : 4.

Рассмотрим треугольник ABC. По условию, отношение AC к BC равно 1:4. Пусть AC = x, тогда BC = 4x.

Заметим, что треугольники A1CC1 и B1CC1 являются прямоугольными, так как прямые A1C1 и B1C1 перпендикулярны плоскости a, а значит они пересекаются под прямым углом с плоскостью a.

Так как прямые A1C1 и B1C1 перпендикулярны плоскости a, то прямые A1C и B1C также перпендикулярны плоскости a. Это значит, что треугольники A1CC1 и B1CC1 подобны треугольнику ABC.

Поскольку AB и A1B1 – это сечения параллельных плоскостей (плоскость a и плоскость, проходящая через A1 и B1), то эти сечения параллельны и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

Таким образом, (AC1 / CC1) = (AA1 / AB), где AC1 и CC1 – это соответствующие стороны треугольников A1CC1 и ABC.

Известны значения AA1 = 15см и AB = AC + BC = x + 4x = 5x. Поэтому (AC1 / CC1) = 15 / 5x = 3 / x.

Так как треугольники подобны, отношение сторон AC1 и CC1 равно отношению сторон AB и BC, то есть (AC1 / CC1) = (AB / BC) = (5x / (4x)) = (5/4).

Имеем уравнение: 3 / x = 5 / 4.

Решаем его. 3 * 4 = 5 * x, 12 = 5 * x, x = 12 / 5.

Теперь можем найти значение AC1: AC1 = (AA1 * CC1) / AB = (15 * CC1) / (5 * (12 / 5)) = 3 * CC1.

Так как отношение AC1 к CC1 равно 3, то значит AC1 = 3 * CC1.

Теперь можем записать уравнение: 3 * CC1 = 15.

Решим его. 3 * CC1 = 15, CC1 = 15 / 3, CC1 = 5.

Ответ: отрезок CC1 равен 5 см.