Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках Р₁ и Q₁. Найдите P₁Q₁ если PQ = 15 см, РР₁ = 21,5 см, QQ₁ = 33,5 см.

Обозначим P₁Q₁ = x. Так как прямые РР₁ и QQ₁ перпендикулярны плоскости α, то РР₁Q₁Q – прямоугольник. Значит, РР₁ = QQ₁.
Рассмотрим треугольники РР₁Q₁ и QPQ₁. Они подобны, так как у них противоположные углы прямые и угол при вершине Q равноугольный. Значит,
РР₁/QP = Q₁Q/QQ₁.
Подставляя известные значения, получим:
21,5/(15-x) = 33,5/21,5.
Выразим x:
21,5*(33,5) = (15-x)*(21,5).
720,25 = 322,75 – 21,5x.
399,5 = 21,5x => x = 18,53 см.
Ответ: P₁Q₁ = 18,53 см.