Обозначим через D точку пересечения одной из прямых, проведенных через точку К, с продолжением стороны AB и точкой пересечения другой прямой с продолжением стороны BC – точку E. Тогда на основании свойств параллелограмма имеем, что S = S1 + S2. При этом, S1 = SDC, а S2 = SDE. Заметим, что параллелограмм AKBC подобен треугольнику SDE, так как углы AKB и SDE соответственно прямые и параллельные, а углы BKA и SDE соответственно равны, так как они составляют альтернативные углы.
Таким образом, имеем, что DK : DS = BK : DE.
Так же имеем, что SDC подобен AKC, так как углы SDC и AKC прямые и углы DSC и AKC соответственно равны, так как они составляют альтернативные углы.
Тогда имеем, что CD : KC = SD : AC.
Теперь замечаем, что BC : AB = DE : BK, следовательно, BK = AB * DE / BC.
Так же, AC : AB = SD : DC, следовательно, SD = AC * DC / AB.
Подставляем полученные значения для BK и DS:
DK : DS = AC * DC / AB : AC * DE / BC = BC / AB * DC / DE.
Поскольку два треугольника DKC и DSE подобны, следовательно, их площади относятся как коэффициенты подобия вторых степеней, т.е. (DKC / DSE) ^ 2 = (S1 / S2) ^ 2 = DS / DK ^ 2.
А так как S1 = S – S2, то имеем, что DS / DK ^ 2 = S / (S – S2) = S2 / (S – S2) + 1.
Разрешаем уравнение относительно S2:
DS / DK ^ 2 – 1 = S2 / (S – S2).
S2 / (S – S2) + 1 = S / (S – S2).
S2 = S * (S – S2) / (S – S2 + 1).
S2 = S / (S2 + 1).
Тогда имеем, что S2 ^ 2 + S2 = S.
Находим корни уравнения:
S2 ^ 2 + S2 – S = 0.
S2 = (-1 + sqrt(1 + 4S)) / 2 или S2 = (-1 – sqrt(1 + 4S)) / 2.
Так как S2 >= 0, имеем, что S2 = (-1 + sqrt(1 + 4S)) / 2.
Теперь подставляем полученное значение S2 в уравнение для S1:
S1 = S – S2 = S – (-1 + sqrt(1 + 4S)) / 2.
Тогда площадь параллелограмма S = S1 + S2 = S – (-1 + sqrt(1 + 4S)) / 2 + (-1 + sqrt(1 + 4S)) / 2 = S.
Таким образом, площадь параллелограмма равна S.
