Для решения задачи нам понадобится векторное уравнение плоскости. Пусть точка M(2,-1,-2) лежит на плоскости, а вектор n = -4i + 12j – 3k перпендикулярен плоскости.
Общее векторное уравнение плоскости имеет вид: (r – r_0) * n = 0, где r – вектор точки на плоскости, r_0 – вектор точки M, n – вектор, перпендикулярный плоскости.
Заменим известные значения: (r – (2,-1,-2)) * (-4,12,-3) = 0
Раскроем скобки: (-4x + 8 + 12y + 3 + 3z + 6) = 0
Упростим: -4x + 12y + 3z + 17 = 0
Таким образом, мы получили уравнение плоскости: -4x + 12y + 3z + 17 = 0.
Теперь найдем расстояние от точки B(2,4,5) до этой плоскости.
Расстояние от точки до плоскости задается формулой: d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), где A, B, C и D – коэффициенты уравнения плоскости.
Подставим известные значения: d = |(-4*2 + 12*4 + 3*5 + 17)| / sqrt((-4)^2 + 12^2 + 3^2)
Вычислим: d = |-8 + 48 + 15 + 17| / sqrt(104 + 144 + 9) = |72| / sqrt(257) = 72 / sqrt(257).
Таким образом, расстояние от точки B до плоскости составляет 72 / sqrt(257).