Пусть исходный треугольник имеет стороны $a$, $b$ и $c$. Пусть также параллельные прямые, проведенные через вершины треугольника, пересекают стороны треугольника соответственно в точках $A’$, $B’$ и $C’$. Тогда сторона треугольника, ограниченная прямой, параллельной стороне треугольника, будет равна длине соответствующей стороны треугольника, умноженной на отношение длины этой прямой к длине стороны треугольника. То есть, например, сторона треугольника $BC$ будет равна $c’ = c cdot frac{BC’}{BC}$.
Тогда периметр треугольника, ограниченного этими прямыми, будет равен сумме длин сторон:
[
P’ = a’ + b’ + c’ = a cdot frac{A’C}{AC} + b cdot frac{B’A}{AB} + c cdot frac{C’B}{CB}
]
Поскольку прямые проходят через вершины треугольника параллельно его сторонам, соответствующие отношения будут равны отношениям длин соответствующих сторон:
[
P’ = a cdot frac{A’C}{AC} + b cdot frac{B’A}{AB} + c cdot frac{C’B}{CB} = a cdot frac{c}{AC} + b cdot frac{a}{AB} + c cdot frac{b}{CB}
]
Мы знаем, что периметр исходного треугольника равен 6 см. Используем это значение для подстановки вместо длин сторон исходного треугольника, а именно:
[
P’ = a cdot frac{c}{AC} + b cdot frac{a}{AB} + c cdot frac{b}{CB} = 6 cdot frac{c}{AC} + 6 cdot frac{a}{AB} + 6 cdot frac{b}{CB} = 6 left(frac{c}{AC} + frac{a}{AB} + frac{b}{CB}right)
]
Таким образом, периметр треугольника, ограниченного этими прямыми, равен $6$ умножить на сумму отношений длины каждой стороны исходного треугольника к длине соответствующего отрезка прямой, проведенной через вершину треугольника параллельно его стороне.