Пусть угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью ее основания равен α. Обозначим высоту пирамиды через h.
1. Найдем площадь основания пирамиды. По формуле площади треугольника S = 0,5 * a * b * sin(γ), где a и b – стороны треугольника, а γ – угол между этими сторонами, в нашем случае γ = 90 градусов. Так как пирамида является четырехугольной, то площадь основания будет равна площади прямоугольного треугольника, образуемого двумя сторонами основания и высотой пирамиды: S_осн = 0,5 * 36 * h = 18h.
2. Найдем высоту пирамиды. Объем пирамиды выражается формулой V = 1/3 * S_осн * h, где V – объем, S_осн – площадь основания, h – высота. Подставим известные значения и решим уравнение: 54 = 1/3 * 18h * h. Упростим уравнение: 54 = 6h². Раскроем скобки: 54 = 6 * h * h. Поделим обе части уравнения на 6: 9 = h². Извлечем квадратный корень: h = 3.
3. Рассчитаем значение синуса угла α. Радиус пирамиды R (расстояние от вершины до основания) можно найти по формуле R = sqrt(h² + (a/2)²), где a – сторона основания. Подставим известные значения: R = sqrt(3² + (36/2)²) = sqrt(9 + 18²) = sqrt(9 + 324) = sqrt(333).
4. Выразим синус угла α как отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника, где гипотенуза – сторона основания пирамиды, противолежащий катет – радиус пирамиды: sin(α) = h/R = 3/sqrt(333).
5. Найдем сам угол α. Применим функцию arcsin к обеим частям уравнения: α = arcsin(3/sqrt(333)) ≈ 22.97 градусов.
Ответ: Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды примерно равен 22.97 градусов.