Пусть А и В – вершины меньшей основы трапеции, С и D – вершины большей основы, а O – центр окружности, описанной вокруг трапеции.
Из условия задачи следует, что O лежит на большей основе трапеции. Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как М. Так как O – центр окружности, то радиус окружности равен расстоянию от O до каждой из вершин трапеции.
Рассмотрим треугольник АOM. Он является равнобедренным, так как AO = MO, радиусы окружности равны. Значит, углы ОАМ и ОМА равны. Обозначим эти углы α.
Рассмотрим треугольник ВOC. Он также равнобедренный, так как BO = CO, радиусы окружности равны. Значит, углы ОВС и ОСВ равны. Обозначим эти углы β.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то и сумма углов АОМ и ВOC равна 180°: α+β = 180°.
Углы трапеции можно найти, выражая их через углы равнобедренных треугольников. Обозначим углы трапеции как γ и δ.
Из свойств трапеции следует, что γ+α = 180° и δ+β = 180°.
Выразим γ и δ через α и β:
γ = 180°- α
δ = 180°- β
Подставим в первое уравнение:
γ+α = 180°
180°- α + α = 180°
Упростим:
180° = 180°
Аналогично, подставим во второе уравнение:
δ+β = 180°
180°- β + β = 180°
Упростим:
180° = 180°
Таким образом, углы трапеции не определены и могут быть любыми.