Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольник ABC, у которого P – центр описанной окружности, и M – точка пересечения медиан треугольника ABC.
1. Построим PM, которая будет являться медианой треугольника PAB. Поскольку точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC, угол APB будет прямым (описанный угол, опирающийся на диаметр окружности).
2. Рассмотрим треугольник PAB. Поскольку PM является медианой, то M делит сторону AB пополам. Обозначим точку, в которой PM пересекает AB, как N. Тогда AM = MB.
3. Из равенства сторон AM = MB и равномерного расположения точек A, M и B следует, что угол MAB равен углу MBA.
4. Также у нас уже имеется прямой угол APB, так как APB – описанный угол, опирающийся на диаметр AB.
5. Таким образом, имеется два равных угла в треугольнике ABC – углы MAB и MBA. Значит, треугольник ABC либо равнобедренный (если AM = MB), либо прямоугольный (если AM ≠ MB).
Таким образом, доказано, что если центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане, то данный треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.