Пусть сторона квадрата равна x. Обозначим точку пересечения EF и AD — точка M.
Так как длина AE в 3 раза меньше длины AB, то AE = x/4, а BE = 3x/4.
Также, длина BF в 3/5 раза меньше длины BD, то BF = 3x/8, а DF = 5x/8.
Точка T является серединой отрезка EF, значит MT = TE = TF.
По свойству средней пропорции в прямоугольном треугольнике BTF можем выразить BT через TF и BF:
TF/DF = BT/BF
TF/(5x/8) = BT/(3x/8)
Так как TF = TE и TF = MT, то BT = ME = x/4.
Также, треугольники BEF и BTF подобны, значит BE/BT = EF/TF.
Подставляем значения:
(3x/4)/(x/4) = EF/(x/4)
EF = 3x/4
Подставляем данные об отрезке EF в предыдущее уравнение:
x/4 = 3x/4 / (5x/8)
x/4 = 3x/4 * 8/5x
x/4 = 24/20
x/4 = 6/5
x = 4 * (6/5)
x = 24/5
Теперь находим AT:
AT = MT = TE = x/4
AT = (24/5)/4
AT = 24/20 = 6/5
Таким образом, отношение длины отрезка AT к диагонали квадрата равно 6/5.