Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Диагональ BD 1 равна 6 см и составляет с боковой гранью DD 1 C 1 C угол arcsin 3 2 , AA1 = 3 см. Найдите объем призмы.

Для решения задачи, нам необходимо найти значение высоты параллелепипеда, а затем использовать формулу для нахождения объема призмы.

Поскольку диагональ BD1 равна 6 см и составляет с боковой гранью DD1C угол arcsin(3/2), мы можем использовать геометрические свойства прямоугольного треугольника для нахождения высоты параллелепипеда.

Угол arcsin(3/2) говорит нам о соотношении сторон прямоугольного треугольника DD1C:
DD1 = 3/2, DC = 6.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны D1C:
(DD1)^2 + (DC)^2 = (D1C)^2
(3/2)^2 + 6^2 = (D1C)^2
9/4 + 36 = (D1C)^2
9/4 + 144/4 = (D1C)^2
153/4 = (D1C)^2

Теперь, найдя длину D1C, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты параллелепипеда:
(D1C)^2 + (DC)^2 = (D1D)^2
(153/4) + 36 = (D1D)^2
153/4 + 144/4 = (D1D)^2
297/4 = (D1D)^2

Теперь находим корень из (D1D)^2, чтобы найти D1D:
D1D = sqrt(297/4) = sqrt(297)/2

Теперь, когда мы знаем высоту параллелепипеда (D1D), мы можем использовать формулу для нахождения объема призмы:
V = площадь основания * высота

Поскольку основание – это прямоугольник ABCDA1B1C1D1, его площадь равна произведению длины AB и ширины BC:
площадь основания = AB * BC

AB = AA1 = 3 см
BC = D1C = sqrt(153)/2 см

Теперь можем найти площадь основания:
площадь основания = 3 см * sqrt(153)/2 см = 3/2 * sqrt(153) см^2

Теперь, подставим значения в формулу объема призмы:
V = площадь основания * высота
V = 3/2 * sqrt(153) см^2 * sqrt(297)/2 см
V = 3/4 * sqrt(153 * 297) см^3

Таким образом, объем призмы будет равен 3/4 * sqrt(45381) см^3, или примерно 718,2 см^3.