Обозначим длины сторон треугольника следующим образом:
AB – катет AV, BC – катет VS, AC – гипотенуза. Также пусть угол A = α, угол V = 2α.
Используя соотношение из условия задачи, получаем α : 2α = AB : BC.
Упростим это соотношение: 1/2 = AB / BC.
Также, по теореме Пифагора для треугольника AVS, имеем: AV^2 + VS^2 = AS^2.
Заменим AV на AB и VS на BC: AB^2 + BC^2 = AC^2.
Так как известно, что AC = 15, можем записать: AB^2 + BC^2 = 15^2.
Подставим AB / BC = 1/2 в этое уравнение: (BC * (1/2))^2 + BC^2 = 15^2.
Упростим: BC^2/4 + BC^2 = 225.
Перенесем все в одну часть: (BC^2 + BC^2 * 4)/4 – 225 = 0.
Упростим: 5BC^2/4 – 225 = 0.
Перенесем 225 в другую сторону: 5BC^2/4 = 225.
Умножим обе стороны на 4/5: BC^2 = 225 * 4/5.
Получим: BC^2 = 180.
Извлечем квадратный корень из обеих сторон: BC = √180.
Упростим: BC = √36 * √5, BC = 6√5.
Таким образом, длина катета BC равна 6√5.