а) Докажем, что треугольник MBN равнобедренный.
Из условия имеем MA=NC.
Также, треугольники АМС и ВНС являются равнобедренными, так как MA=NC (одна сторона) и ∠MAC=∠NCA (основание).
Значит, ∠MCA=∠NAC.
Рассмотрим треугольники АBM и ВBN. У них есть две пары равных сторон: AB=BC (они являются боковыми сторонами равнобедренных треугольников АМС и ВНС) и BM=BN (по условию, МА=NC).
Также, у этих треугольников есть общая сторона MB.
Значит, треугольники АBM и ВBN равны по стороне-стороне-стороне и, следовательно, имеют равные углы.
То есть, ∠BMA=∠BNB.
Таким образом, треугольник MBN является равнобедренным.
б) Найдем ∠BMN, зная, что ∠BNC=130°.
Из равнобедренности треугольников АМС и ВНС следует, что ∠MAC=∠NCA.
Значит, ∠MAN=180°-2∠MAC=180°-2∠NCA.
Также, ∠MAN+∠BNB=180° (сумма углов в треугольнике).
Подставим ∠MAN=180°-2∠NCA в это уравнение: 180°-2∠NCA+∠BNB=180°.
Сокращаем 180° на обоих сторонах и переносим -2∠NCA на другую сторону: ∠BNB=2∠NCA.
Заметим, что ∠BNC=130° и ∠NCA=∠BNC/2=130°/2=65°.
Подставим это значение в предыдущее уравнение: ∠BNB=2*65°=130°.
Таким образом, ∠BMN=∠BNB=130°.