Пусть треугольник PMC равнобедренный, то есть |PM| = |CM|. Чтобы доказать, что медиана PH является биссектрисой и высотой, рассмотрим два случая.
1. Если треугольник PMC равнобедренный и медиана PH является биссектрисой.
Проведем биссектрису AC треугольника PMC, пересекающую сторону MC в точке K. Так как треугольник PMC равнобедренный, то из условия равнобедренности следует, что угол PCM равен углу PMC. Тогда по свойствам биссектрисы угла PCM, угол KCA также равен углу KCP. Так как углы KCA и KCP равны, |CP| = |CA|. Также из равнобедренности треугольника PMC следует, что |CP| = |PM|. Поэтому |PM| = |CA|, что означает, что PH является биссектрисой угла PCM.
2. Если треугольник PMC равнобедренный и медиана PH является высотой.
Пусть H – точка пересечения медианы PH и стороны MC. Так как медиана пересекает основание треугольника под прямым углом, то угол PHC прямой. Также из равнобедренности треугольника PMC следует, что |PM| = |CM|. Пусть точка N – середина стороны MC. Тогда из свойств медианы треугольника PN считается высотой треугольника PHC. Так как треугольник PMC равнобедренный, то PN является медианой и высотой треугольника PMC, и |PN| = |NC|. Так как |PM| = |CM| и |PN| = |NC|, то треугольник CNM является равнобедренным. Поэтому углы CNM и MNC равны, и треугольник PHC также является равнобедренным, с основанием HC. Тогда углы PHC и HCP равны, и PH является высотой треугольника PMC.
Таким образом, доказано, что в случае равнобедренного треугольника PMC медиана PH является как биссектрисой, так и высотой.