Для начала построим сечение. Обозначим точку пересечения сечения с ребром AB как точку N. Так как BM:MC = 2:1, то длина отрезка MN составляет 2/3 от длины отрезка BC.
Также обозначим точку пересечения сечения с ребром PA как точку D. Поскольку плоскость сечения параллельна боковой грани PAC, то DN является гомологичной его частью и делит PA в отношении DN:NP = DN:2DN = 1:2.
Заметим, что треугольник DMA подобен треугольнику PAB, так как имеет два угла при A и M, соответственно. В треугольниках DMA и PAB соответственные стороны также пропорциональны.
Обозначим стороны треугольника DMA как x, y и z.
Тогда имеем следующее:
DM/PA = AM/AB => x/(3 13) = (x + y)/(3 13 + z)
и
MA/AB = AD/AC => y/z = 2/12 = 1/6
Решая эти два уравнения, получаем:
x = 3z
и
y = z/6
Теперь найдем стороны треугольника PAB:
PA = 3 13
AB = AC/6 = 12/6 = 2
PB = AB – AP = 2 – 3 13 = -3 13.
Значит, сторона PA больше стороны AB, а сторона PB меньше стороны AB.
Теперь можем найти площади треугольников PAB и DMA и сложить их, чтобы получить площадь сечения:
S(DMA) = 1/2 * x * y = 1/2 * (3z) * (z/6) = (z^2)/4
S(PAB) = 1/2 * AB * (PB – PA) = 1/2 * 2 * (-3 13 – 3 13) = (-3 13)
S(сечения) = S(DMA) + S(PAB) = (z^2)/4 + (-3 13).
Таким образом, площадь полученного сечения зависит от значения z, которое мы не знаем.