1) Найдем длины сторон треугольника с помощью формулы расстояния между двумя точками в координатной плоскости.
AB = √[(x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2] = √[(-1 – (-4))^2 + (2 – 6)^2] = √[9 + 16] = √25 = 5
BC = √[(x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2] = √[(-1 – (-1))^2 + (6 – 2)^2] = √[0 + 16] = √16 = 4
CA = √[(x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2] = √[(-4 – (-1))^2 + (6 – 6)^2] = √[9 + 0] = √9 = 3
2) Используя теорему Пифагора, проверим, является ли треугольник прямоугольным.
Для этого проверим выполнение тождества a^2 + b^2 = c^2, где a, b и c – длины сторон треугольника.
AC^2 = 3^2 = 9
BC^2 + AB^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41
Так как AC^2 = BC^2 + AB^2, то треугольник ABC является прямоугольным.
3) Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона:
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)], где p – полупериметр треугольника, a, b и c – длины сторон треугольника.
p = (AB + BC + CA) / 2 = (5 + 4 + 3) / 2 = 12 / 2 = 6
S = √[6(6-5)(6-4)(6-3)] = √[6(1)(2)(3)] = √[36] = 6
4) Длина меридиана — это расстояние от одного угла треугольника до середины противоположной стороны. Длина меридиана MA вычисляется по формуле:
MA = √[(x1 + x2)/2]^2 + [(y1 + y2)/2]^2, где (x1, y1) и (x2, y2) – координаты концов стороны АВ.
MA = √[(-4 + (-1))/2]^2 + [(6 + 2)/2]^2 = √[-5/2]^2 + [8/2]^2 = √[25/4] + [16/4] = √[41/4] = √[41]/2
5) Найдем углы треугольника с использованием теоремы косинусов:
cos(A) = (b^2 + c^2 – a^2) / (2bc), где a, b и c – длины сторон треугольника.
cos(A) = (4^2 + 3^2 – 5^2) / (2 * 4 * 3) = (16 + 9 – 25) / 24 = 0 / 24 = 0
A = arccos(0) = 90° (угол А прямой)
Аналогично, найдем углы В и С:
cos(B) = (a^2 + c^2 – b^2) / (2ac) = (5^2 + 3^2 – 4^2) / (2 * 5 * 3) = (25 + 9 – 16) / 30 = 18 / 30 = 0.6
B = arccos(0.6) ≈ 53.13°
cos(C) = (a^2 + b^2 – c^2) / (2ab) = (5^2 + 4^2 – 3^2) / (2 * 5 * 4) = (25 + 16 – 9) / 40 = 32 / 40 = 0.8
C = arccos(0.8) ≈ 36.87°
6) Радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы.
Гипотенуза треугольника ABC равна BC = 4.
Радиус описанной окружности R = BC / 2 = 4 / 2 = 2.