Дан треугольник MPN со сторонами MP = PN = 5 и MN = 6. Через середину стороны MN проведена прямая перпендикулярно стороне PN. В каком отношении она делит площадь треугольника MPN ?

Обозначим середину стороны MN как точку K. Из условия задачи следует, что прямая, проведенная через точку K перпендикулярно стороне PN, делит треугольник MPN на два подобных треугольника. Пусть точка пересечения этой прямой с стороной PN обозначается как точка L.

Поскольку треугольник MPN разделен на два подобных треугольника, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Рассмотрим отношение площадей этих треугольников.

Площадь треугольника MPN можно вычислить, используя формулу Герона. Пусть a, b и c – длины сторон треугольника MPN. В данной задаче a = b = 5 и c = 6. Пусть p – полупериметр треугольника MPN, то есть p = (a + b + c) / 2. В данной задаче p = (5 + 5 + 6) / 2 = 8.
Теперь можем вычислить площадь треугольника MPN по формуле Герона: S = sqrt(p * (p – a) * (p – b) * (p – c)) = sqrt(8 * (8 – 5) * (8 – 5) * (8 – 6)) = sqrt(8 * 3 * 3 * 2) = sqrt(8 * 9 * 2) = sqrt(144) = 12.

Поскольку треугольник MPN разделен на два подобных треугольника, отношение площадей этих треугольников равно отношению квадратов длин соответствующих сторон. В данной задаче сторона MP соответствует стороне NL, а сторона PN соответствует стороне LK. Таким образом, отношение площадей треугольников MPN и KLN равно (MP/NL)^2 = (PN/LK)^2 = (5/3)^2 = 25/9.

Ответ: треугольник MPN разделен на два подобных треугольника, и отношение площадей этих треугольников равно 25/9.