Дан треугольнтк ABC. Известно, что его сторона AC равна 13, а угол при вершине C в два раза больше угла при вершине B. Точки X и Y находятся на отрезке BC, и оказалось что AX перпендикулярна BC и AY перпендикулярна AB. Также известно, что XY=2. Найди BC.

Рассмотрим треугольник ABC.
Угол при вершине C равен удвоенному углу при вершине B. Обозначим угол при вершине B как x. Тогда угол при вершине C равен 2x.
Угол при вершине A равен 180 градусов минус сумма углов при вершинах B и C.
Таким образом, угол при вершине A равен 180° – x – 2x = 180° – 3x.
Так как AX перпендикулярна BC, то угол между основанием BC и высотой AX равен 90 градусов. Значит, вершина A тоже принадлежит этой высоте.
Аналогично, так как AY перпендикулярна AB, то угол между основанием AB и высотой AY также равен 90 градусов. Значит, вершина A также принадлежит этой высоте.
Таким образом, точки X и Y лежат на одной прямой, и прямая, проходящая через эти точки, также является высотой треугольника ABC.
Так как XY = 2, а высота отсекает треугольник на два подобных треугольника, то отношение длины XY к длине высоты равно √3 / 2. То есть, XY / BC = √3 / 2.
Подставим значения: 2 / BC = √3 / 2.
Умножим оба выражения на BC: 2 = (BC * √3) / 2.
Умножим оба выражения на 2: 4 = BC * √3.
Разделим оба выражения на √3: 4 / √3 = BC.
По определению, √3 ≈ 1,732.
Таким образом, BC ≈ 4 / 1,732 ≈ 2,31.
Ответ: BC ≈ 2,31.