Пусть основания трапеции AD и BC равны a и b соответственно, а боковая сторона CD равна c. Также пусть угол CMD равен x.
Из условия задачи следует, что c = a + b.
Рассмотрим треугольник CDM. По теореме синусов имеем:
sin(x) / c = sin(90° – x) / MD.
Так как угол CMD равен x и угол MDC равен 90° – x (так как биссектриса делит угол D пополам), то получаем:
sin(x) / c = cos(x) / MD.
Также из условия задачи известно, что MD = MA + AD. Подставим это выражение в предыдущее уравнение:
sin(x) / c = cos(x) / (MA + AD).
Заметим, что AD = a и MA = b (по условию). Подставляем значения и упрощаем:
sin(x) / c = cos(x) / (a + b).
Теперь можем найти sin(x) и cos(x) через известные значения:
sin(x) = cos(90° – x) = cos(x),
cos(x) = sin(90° – x) = sin(x).
Получили уравнение:
sin(x) / c = sin(x) / (a + b).
Сокращаем sin(x) и получаем:
1 / c = 1 / (a + b).
Отсюда следует, что c = a + b.
Таким образом, мы доказали, что угол CMD равен 45°.