Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольник ABC.
1) Найдем угол ABC. Воспользуемся косинусной теоремой:
cos(ABC) = (ab^2 + bc^2 – ac^2) / (2*ab*bc) = (7^2 + 3^2 – ac^2) / (2*7*3) = (49 + 9 – ac^2) / 42
2) Так как mb перпендикулярна к плоскости ABC, то mb должна быть перпендикулярна вектору нормали к этой плоскости. Возьмем точку B(0, 0, 0) в начале координат. Вектор нормали к плоскости ABC можно найти как векторное произведение векторов AB и BC:
N = AB x BC = (7, 0, 0) x (0, 3, 0) = (0, 0, 7*3)
Т.к. mb = (0, 4, 0), то скалярное произведение между mb и N равно 0, если mb перпендикулярна N.
0 = (0*0 + 4*0 + 0*(7*3)) = 0
3) Рассмотрим плоскость KBM. Чтобы доказать, что AC перпендикулярна этой плоскости, нужно показать, что вектор AB перпендикулярен вектору BC. Возьмем координаты точек K, B и M:
K(0, 0, bk), B(0, 0, 0), M(0, 4, 0)
AB = (0, 0, 0) – (0, 0, bk) = (0, 0, -bk)
BC = (0, 0, 0) – (0, 4, 0) = (0, -4, 0)
Скалярное произведение векторов AB и BC равно 0, если AB перпендикулярен BC.
0 = (0*0 + 0*(-4) + (-bk)*0) = 0
Таким образом, мы доказали, что mb перпендикулярна плоскости ABC и AC перпендикулярна плоскости KBM.