Дано: О – середина АВ, О – середина DC. ∠OAD = 112°, ВС = 1 см (рис. 2.204). Найти: ∠OBC, AD. Луч AD – биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что ∠ADC = ∠ADB. Докажите, что АВ = АС. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану ВВ1 к боковой стороне АС.Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 7

1. Из условия задачи находим, что ∠OAD = 112°.
2. Так как луч AD – биссектриса угла А, то ∠BAD = ∠DAC = 112° / 2 = 56°.
3. Заметим, что треугольники ABD и ACD являются равнобедренными, так как ∠ADB = ∠ADC = 56° и АВ = АС (доказываемое утверждение).
4. Так как О – середина отрезка АВ и О – середина отрезка DC, то АО = ОВ и ОС = ОD.
5. Используя свойства равнобедренных треугольников, получаем, что ∠BOC = ∠AOC = ∠AOD = 112°.
6. Так как угол OBC принадлежит треугольнику OBC, то ∠OBC = 180° – ∠BOC = 180° – 112° = 68°.
7. Используя свойство суммы углов треугольника, находим, что ∠OBC + ∠OAC + ∠OAB = 180°. Заменяем значениями: 68° + 112° + 56° = 180°. Получается, что треугольник OAB – треугольник суммы углов 180°. Таким образом, условие верное.
8. Если проведем медиану BВ1 треугольника ВСС1, то В1 будет точкой пересечения медианы и основания ВС. В1 – середина стороны С1С. Так как AB1 = В1С1, то треугольник АВ1С будет равнобедренным с основанием ВС.
9. Таким образом, мы доказали, что треугольник АВС – равнобедренный с основанием ВС и стороной АВ = АС.
10. Значение ∠OBC = 68°, АD – остается неопределенным, так как не даны значения других углов или сторон.