1) Прямая AB задается векторным уравнением r = A + t(B – A), где r – точка на прямой, t – параметр.
Прямая CD задается векторным уравнением r = C + s(D – C), где r – точка на прямой, s – параметр.
Найдем параметры t и s такие, чтобы точки на обеих прямых совпадали: A + t(B – A) = C + s(D – C).
Составим систему из трех уравнений и решим ее методом подстановки для нахождения t и s:
1 + t(3 – 1) = -2 + s(4 + 2)
-2 + t(1 + 2) = -1 + s(0 + 1)
2 + t(0 – 2) = 3 + s(-2 – 3)
Решив систему, получим значения t = -1 и s = 2.
Теперь найдем векторы направления прямых AB и CD:
AB: u = B – A = (3 – 1, 1 – (-2), 0 – 2) = (2, 3, -2)
CD: v = D – C = (4 – (-2), 0 – (-1), -2 – 3) = (6, 1, -5)
Угол между прямыми AB и CD можно найти с помощью формулы: cos(θ) = (u · v) / (|u| * |v|), где θ – искомый угол, · – скалярное произведение векторов, |u| и |v| – длины векторов.
Вычислим:
(u · v) = 2*6 + 3*1 + (-2)*(-5) = 12 + 3 + 10 = 25
|u| = √(2^2 + 3^2 + (-2)^2) = √(4 + 9 + 4) = √17
|v| = √(6^2 + 1^2 + (-5)^2) = √(36 + 1 + 25) = √62
cos(θ) = 25 / (√17 * √62) ≈ 0.614
θ ≈ arccos(0.614) ≈ 52.92°
Ответ: угол между прямыми AB и CD составляет примерно 52.92°.
2) Уравнение плоскости AC можно найти с помощью векторного уравнения плоскости: n · (r – A) = 0, где n – нормальный вектор плоскости, r – точка на плоскости, A – точка, через которую плоскость проходит.
Нормальный вектор плоскости можно найти как векторное произведение векторов AC и AB: n = AC × AB.
AC: w = C – A = (-2 – 1, -1 – (-2), 3 – 2) = (-3, 1, 1)
AC × AB = (-3, 1, 1) × (2, 3, -2) = (1 – 1, -6 – 2, 1 + 6) = (0, -8, 7)
Теперь составим уравнение плоскости:
0(x – 1) – 8(y + 2) + 7(z – 2) = 0
-8y – 16 + 7z – 14 = 0
-8y + 7z – 30 = 0
8y – 7z + 30 = 0
Ответ: уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору (-4, 2, -1), имеет вид 8y – 7z + 30 = 0.
3) Умножим координаты вектора n на переменные (x, y, z), затем упростим уравнение и найдем константу, подставив координаты точки А:
-4x + 2y – z + d = 0
-4*1 + 2*(-2) – 2 + d = 0
-4 – 4 – 1 + d = 0
d = 9
Уравнение плоскости : -4x + 2y – z + 9 = 0
Ответ: уравнение плоскости , проходящей через точку А и перпендикулярной вектору (-4, 2, -1), имеет вид -4x + 2y – z + 9 = 0.
4) Расстояние от точки M до плоскости можно вычислить по формуле: d = |n · (M – A)| / |n|, где d – расстояние, n – нормальный вектор плоскости, M – точка, А – точка, через которую проходит плоскость.
Вычислим:
n = (-4, 2, -1)
M – A = (3 – 1, 0 – (-2), -2 – 2) = (2, 2, -4)
d = |(-4, 2, -1) · (2, 2, -4)| / |(-4, 2, -1)|
d = |-8 + 4 + 4| / √((-4)^2 + 2^2 + (-1)^2)
d = |0| / √(16 + 4 + 1)
d = 0 / √21
d = 0
Ответ: расстояние от точки M(3, 0, -2) до плоскости (из пункта 3) равно 0.
5) Угол между плоскостями можно найти с помощью формулы: cos(θ) = |n1 · n2| / (|n1| * |n2|), где θ – искомый угол, n1 и n2 – нормальные векторы плоскостей.
Составим уравнения плоскостей:
x – 2y + z + 3 = 0
2x + 3z – 6 = 0
Нормальные векторы плоскостей: n1 = (1, -2, 1), n2 = (2, 0, 3)
Вычислим:
|n1 · n2| = |1*2 + (-2)*0 + 1*3| = |2 + 0 + 3| = 5
|n1| = √(1^2 + (-2)^2 + 1^2) = √(1 + 4 + 1) = √6
|n2| = √(2^2 + 0^2 + 3^2) = √(4 + 0 + 9) = √13
cos(θ) = 5 / (√6 * √13)
θ ≈ arccos(5 / (√6 * √13))
Ответ: угол между плоскостями x – 2y + z + 3 = 0 и 2x + 3z – 6 = 0 составляет примерно arccos(5 / (√6 * √13)) радиан.