Даны вектор [а]={2;1;-1} и точки М0 (2;1;3) , М1(x1 ;y1 ;z1 ). Известно, что вектора [а] и [M0 М1] коллинеарны и сонаправлены, а модуль вектора [M0 М1] в два раза больше чем модуль [а]. Найти координаты точки М1

Пусть координаты точки М1 равны (x1, y1, z1).
Так как векторы а и [M0 М1] коллинеарны и сонаправлены, существует такое число t, что [M0 М1] = t[а].
Модуль вектора [M0 М1] равен sqrt((x1-2)^2 + (y1-1)^2 + (z1-3)^2) и в два раза больше модуля вектора [а], то есть 2 * sqrt(2^2 + 1^2 + (-1)^2) = sqrt((x1-2)^2 + (y1-1)^2 + (z1-3)^2).
Воспользуемся фактом, что для любого вектора [v] = его модуль равен sqrt(a^2 + b^2 + c^2).
Раскроем квадраты: 4*(2^2 + 1^2 + (-1)^2) = (x1-2)^2 + (y1-1)^2 + (z1-3)^2.
Упростим: 12 = (x1-2)^2 + (y1-1)^2 + (z1-3)^2.
Теперь найдем соотношение между координатами точек М0 и М1. Так как [M0 М1] = t[а], то можно записать: = t<2, 1, -1>.
Из этого равенства получим систему уравнений:
x1 – 2 = 2t,
y1 – 1 = t,
z1 – 3 = -t.
Получили систему:
x1 = 2t + 2,
y1 = t + 1,
z1 = -t + 3.
Подставим найденные значения в уравнение 12 = (x1-2)^2 + (y1-1)^2 + (z1-3)^2:
12 = (2t)^2 + (t)^2 + (-t)^2.
Раскроем квадраты и упростим:
12 = 4t^2 + t^2 + t^2.
Складываем члены с одинаковыми степенями:
6t^2 = 12.
Делим обе части на 6:
t^2 = 2.
Решаем квадратное уравнение:
t = ±√2.
Таким образом, получаем два возможных значения t: √2 и -√2.
Подставляем эти значения в систему уравнений для x1, y1 и z1:
Для t = √2:
x1 = 2 * √2 + 2 = 2√2 + 2,
y1 = √2 + 1,
z1 = -√2 + 3.
Для t = -√2:
x1 = 2 * -√2 + 2 = -2√2 + 2,
y1 = -√2 + 1,
z1 = √2 + 3.
Итак, получаем две пары координат точки М1:
М1(2√2 + 2, √2 + 1, -√2 + 3) и М1(-2√2 + 2, -√2 + 1, √2 + 3).