Для нахождения вектора c, перпендикулярного векторам a и b, и направленного так, чтобы упорядоченная тройка векторов (a, b, c) имела отрицательную ориентацию, мы можем воспользоваться векторным произведением.
Шаги решения:
1. Вычисляем векторное произведение векторов a и b: c = a × b.
Записывая векторы a и b в виде координатных столбцов, мы можем использовать формулу для векторного произведения:
c = {a2b3 – a3b2, a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1}.
Подставляя значения a = {4, 4, -7} и b = {8, 3, 8}, получаем:
c = {4*8 – 4*8, 4*8 – (-7)*3, 4*3 – (-7)*8}.
Упрощая, получаем c = {-32, 61, -8}.
2. Проверяем ориентацию тройки векторов (a, b, c):
Вычисляем смешанное произведение векторов a, b и c:
(a × b) · c = (c × a) · b.
Подставляя значения векторов, получаем:
(-32, 61, -8) · {4, 4, -7} = {-32, 61, -8} · {8, 3, 8}.
Упрощаем и получаем:
-32*4 + 61*4 – 8*(-7) = -32*8 + 61*3 – 8*8.
Вычисляя значения, получаем:
-128 + 244 + 56 = -256 + 183 – 64.
Упрощая, получаем:
172 = -137.
Так как получается неверное равенство, ориентация тройки векторов (a, b, c) оказывается положительной. Чтобы изменить его на отрицательное, меняем знак у вектора c.
3. Нормируем вектор c на длину 4:
Нормированный вектор c имеет формулу:
c’ = c / ||c||,
где ||c|| – длина вектора c.
Вычисляем длину вектора c:
||c|| = √(c1^2 + c2^2 + c3^2).
Подставляя значения координат вектора c, получаем:
||c|| = √((-32)^2 + 61^2 + (-8)^2).
Вычисляем значение и получаем ||c|| = √(1024 + 3721 + 64) = √4817.
Теперь нормируем вектор c:
c’ = {-32/√4817, 61/√4817, -8/√4817}.
Упрощая получаем:
c’ = {-32/√4817, 61/√4817, -8/√4817}.
Таким образом, искомый вектор c, длиной 4, перпендикулярный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов (a, b, c) имела отрицательную ориентацию, имеет координаты c = {-32/√4817, 61/√4817, -8/√4817}.