Для нахождения площади параллелограмма по векторам a и b можно использовать формулу:
Площадь = |a × b|,
где × обозначает векторное произведение.
Дано:
a = 4p – 2q,
b = 2p + q,
|p| = 3,
|q| = 1,
(p,q) = π/4.
1. Найдем векторное произведение a × b.
a × b = (4p – 2q) × (2p + q).
2. Для вычисления векторного произведения раскроем скобки, используя правило дистрибутивности:
a × b = (4p × 2p) + (4p × q) + (-2q × 2p) + (-2q × q).
3. Для упрощения умножим скалярное произведение векторов p и q соответственно на скаляры |p| и |q|:
a × b = 8(p × p) + 4(p × q) – 4(q × p) – 2(q × q).
4. Так как известно, что (p,q) = π/4, можем выразить скалярное произведение векторов p и q:
p × q = |p||q|cos(p,q).
5. Подставим значения |p| = 3, |q| = 1 и (p,q) = π/4:
p × q = 3 * 1 * cos(π/4) = 3 * 1 * (√2/2) = 3 * √2 * 1/2 = 3√2/2.
6. Теперь вычислим скалярное произведение векторов q и p:
q × p = -p × q = -3√2/2.
7. Подставим значения векторных произведений в формулу для a × b:
a × b = 8(p × p) + 4(p × q) – 4(q × p) – 2(q × q) = 8(0) + 4(3√2/2) – 4(-3√2/2) – 2(0) = 0 + 6√2 – (-6√2) + 0 = 12√2.
8. Найдем модуль полученного векторного произведения:
|a × b| = |12√2| = 12√2.
Ответ: Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, равна 12√2.