Даны вершины пирамиды A(2, –3, 1), B(–1, 1, 1), C(–4, 5, 6), D(–2, 4, 6). Доказать, что ABCD – плоский четырехугольник. Найти: 1) длину ребра ВС; 2) площадь грани AВС; 3) угол между ребрами AВ и АD; 4) объем пирамиды; 5) длину высоты, опущенной из вершины D.

Для доказательства того, что ABCD является плоским четырехугольником, достаточно убедиться, что все его вершины лежат на одной плоскости.

1) Для начала построим векторы AB, AC и AD:

AB = B – A = (-1, 1, 1) – (2, -3, 1) = (-3, 4, 0)
AC = C – A = (-4, 5, 6) – (2, -3, 1) = (-6, 8, 5)
AD = D – A = (-2, 4, 6) – (2, -3, 1) = (-4, 7, 5)

2) Теперь рассмотрим смешанное произведение векторов AB, AC и AD:

V = AB · (AC × AD)

Для этого вычислим векторное произведение AC × AD:

AC × AD = (-6, 8, 5) × (-4, 7, 5) = (40, 74, -86)

И вычислим смешанное произведение:

V = (-3, 4, 0) · (40, 74, -86) = -3 * 40 + 4 * 74 + 0 * (-86) = 126

Так как V ≠ 0, то ABCD не является плоским четырехугольником.

3) Длина ребра BC равна длине вектора BC:

BC = C – B = (-4, 5, 6) – (-1, 1, 1) = (-3, 4, 5)

Длина BC = √[(-3)^2 + 4^2 + 5^2] = √50

4) Площадь грани ABC можно найти, используя половину модуля векторного произведения AB × AC:

AB × AC = (-3, 4, 0) × (-6, 8, 5) = (-32, -15, -26)

Площадь грани ABC = 1/2 |(-32, -15, -26)| = 1/2 √[(-32)^2 + (-15)^2 + (-26)^2] = √1825

5) Угол между ребрами AB и AD можно найти по формуле:

cos(θ) = (AB · AD) / (|AB| * |AD|)

где AB · AD – скалярное произведение векторов AB и AD, |AB| и |AD| – длины векторов AB и AD.

AB · AD = (-3, 4, 0) · (-4, 7, 5) = -3 * (-4) + 4 * 7 + 0 * 5 = 40

|AB| = √[(-3)^2 + 4^2 + 0^2] = 5
|AD| = √[(-4)^2 + 7^2 + 5^2] = √90

cos(θ) = 40 / (5 * √90)
θ = arccos(40 / (5 * √90))

6) Объем пирамиды ABCD можно вычислить, используя формулу:

V = 1/6 |(AB × AC) · AD|

Где |AB × AC| – модуль векторного произведения AB × AC.

|(AB × AC) · AD| = |(-32, -15, -26) · (-4, 7, 5)| = |(408, -376, -232)| = 792

V = 1/6 * 792 = 132

7) Высота пирамиды, опущенная из вершины D, будет проходить через вершину D и перпендикулярна плоскости ABC.

Для нахождения высоты рассмотрим вектор DB, который является проекцией вектора AB на прямую, проходящую через вершину D и параллельную плоскости ABC.

DB = AB − AD = (-3, 4, 0) – (-4, 7, 5) = (1, -3, -5)

Длина высоты DH, опущенной из вершины D на грань ABC, будет равна проекции вектора DB на грань ABC. Так как высота является перпендикуляром к грани, она будет проекцией вектора DB.

DH = DB – проекция DB на нормаль грани ABC

Нормаль к грани ABC будет векторным произведением AB × AC:

AB × AC = (-3, 4, 0) × (-6, 8, 5) = (-32, -15, -26)

Проекция вектора DB на нормаль грани ABC будет равна:

|DB| * cos(θ) = (1, -3, -5) · (-32, -15, -26) / |(-32, -15, -26)| = -326 / √1335

Таким образом, длина высоты DH будет равна |DB| * cos(θ):

DH = |DB| * cos(θ) = √(1^2 + (-3)^2 + (-5)^2) * (-326) / √1335 = -326 / √1335

Перед окончательным вычислением, следует взять модуль значения, чтобы избежать отрицательного результата:

DH = 326 / √1335