а) Для нахождения длины стороны AB используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
AB = √((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2)
где (x1, y1) и (x2, y2) – координаты вершин A и B соответственно.
В данном случае:
AB = √((3 – (-2))^2 + (3 – 1)^2) = √((5^2) + (2^2)) = √(25 + 4) = √29
б) Чтобы найти уравнение медианы BM, найдем координаты точки M – середины стороны AB. Координаты M можно найти как среднее арифметическое координат вершин A и B:
xM = (xA + xB)/2
yM = (yA + yB)/2
В данном случае:
xM = (-2 + 3)/2 = 1/2
yM = (1 + 3)/2 = 2
Таким образом, точка M имеет координаты (1/2, 2).
Уравнение медианы BM можно найти с использованием формулы прямой, заданной точкой и направляющим вектором:
y – y0 = k(x – x0),
где (x0, y0) – координаты точки M.
Направляющий вектор медианы BM совпадает с вектором AB.
k = (y2 – y1)/(x2 – x1) = (3 – 1)/(3 – (-2)) = 2/5.
Теперь можем подставить значения координат точки M и направляющего вектора в уравнение прямой:
y – 2 = (2/5)(x – 1/2)
Упрощаем:
5y – 10 = 2x – 1,
или
2x – 5y + 9 = 0.
в) Чтобы найти cos угла BCA, используем формулу косинусов:
cos BCA = (AB^2 + BC^2 – AC^2)/(2 * AB * BC)
Первым делом найдем длины сторон BC и AC:
BC = √((x3 – x2)^2 + (y3 – y2)^2) = √((1 – 3)^2 + (0 – 3)^2) = √((2^2) + (3^2)) = √(4 + 9) = √13
AC = √((x3 – x1)^2 + (y3 – y1)^2) = √((1 – (-2))^2 + (0 – 1)^2) = √((3^2) + (1^2)) = √(9 + 1) = √10
Подставим значения в формулу косинусов:
cos BCA = (29 + 13 – 10)/(2 * √29 * √13) = 32/(2 * sqrt(377)) = 16/sqrt(377)
г) Уравнение высоты CD можно найти, используя формулу прямой и координаты вершин C и D, где D – точка пересечения высоты CD и стороны AB.
Для начала найдем координаты точки D, аналогично нахождению координат точки M:
xD = (xC + xA)/2
yD = (yC + yA)/2
В данном случае:
xD = (1 + (-2))/2 = -1/2
yD = (0 + 1)/2 = 1/2
Таким образом, точка D имеет координаты (-1/2, 1/2).
Запишем уравнение прямой, проходящей через точки C и D:
y – yC = k(x – xC),
где (xC, yC) – координаты точки C и k – направляющий коэффициент прямой CD.
Направляющий коэффициент определяется отношением изменения y к изменению x:
k = (yD – yC)/(xD – xC) = (1/2 – 0)/(-1/2 – 1) = (1/2)/(-3/2) = -1/3
Подставим значения в уравнение прямой:
y – 0 = (-1/3)(x – 1)
Упрощаем:
3y = -x + 1
или
x + 3y – 1 = 0.
д) Длина высоты CD равна расстоянию между точкой C и прямой CD. Используем формулу расстояния от точки до прямой:
d = |Ax + By + C|/√(A^2 + B^2)
где A, B, C – коэффициенты уравнения прямой, полученные из предыдущего пункта.
Для нахождения расстояния d подставим значения в формулу:
d = |(1/2) + 3/2 – 1|/√((1/2)^2 + 3^2) = |2/2 – 1|/√(1/4 + 9) = |1/2 – 1|/√(1/4 + 9) = |-1/2|/√(37/4) = 1/(2√(37/4)) = 2/(2√(37)/2) = 1/√37
Таким образом, длина высоты CD равна 1/√37.
е) Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу площади треугольника через координаты вершин:
S = |(x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2))/2|
где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) – координаты вершин A, B и C соответственно.
Подставляем значения:
S = |((-2)(3 – 0) + 3(0 – 1) + 1(1 – 3))/2| = |(-6 + 3 – 2)/2| = |-5/2| = 5/2
Таким образом, площадь треугольника ABC равна 5/2.