а) Для нахождения уравнения прямой АВ можно воспользоваться двумя точками пересечения этой прямой с координатными осями. Найдем угловой коэффициент прямой AB:
m = (у2 – у1) / (х2 – х1) = (3 – (-3)) / (7 – 4) = 6/3 = 2
Теперь подставим одну из известных точек в общее уравнение прямой:
у – у1 = m * (х – х1)
у – (-3) = 2 * (х – 4)
у + 3 = 2х – 8
2х – у – 11 = 0
Параметрическое уравнение прямой: x = t, y = 2t – 3
Каноническое уравнение прямой: (x – 4) / 2 = (y + 3) / (-1) = t
Нормальное уравнение прямой: -х – 2у – 5 = 0
Направляющий вектор: (2, -1)
Вектор нормали: (-1, -2)
б) Высота CH проведена из вершины C перпендикулярно стороне AB. Так как высота перпендикулярна стороне, то направляющий вектор высоты будет равен вектору нормали прямой AB, то есть (2, -1). Для нахождения уравнения высоты используем точку C:
2х – у + d = 0
2 * 1 – 10 + d = 0
-8 + d = 0
d = 8
2х – у + 8 = 0
в) Медиана AM проведена из вершины A треугольника и проходит через середину стороны BC (точка M). Найдем координаты точки M:
M = ( (х1 + х2) / 2 ; (у1 + у2) / 2 ) = ( (4 + 7) / 2 ; (-3 + 3) / 2) = (11/2 ; 0)
После получения координат точки M, составим уравнение медианы AM:
(0 – у1) / (11/2 – х1) = (у2 – у1) / (х2 – (11/2))
(-3 – (-3)) / (11/2 – 4) = (3 – (-3)) / (7 – (11/2))
0/(-3/2) = 6/(3/2)
0 = 4
Так как получившееся равенство неверно, то медиана AM не существует.
г) Точка N – точка пересечения медианы AM и высоты CH. Так как в предыдущем пункте мы установили, что медиана не существует, то точка N также не будет существовать.
д) Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB, будет иметь такой же угловой коэффициент, как и у прямой AB. Найденный ранее угловой коэффициент равен 2. Подставим точку C в общее уравнение прямой:
у – у1 = m * (х – х1)
у – 10 = 2 * (х – 1)
у – 10 = 2х – 2
2х – у + 8 = 0
е) Отклонение от точки C до прямой AB можно найти, используя формулу для расстояния от точки до прямой:
d = | Ax0 + By0 + C | / sqrt(A^2 + B^2)
где (A, B, C) – коэффициенты уравнения прямой, а (x0, y0) – координаты точки C.
Подставляем значения:
d = | 2 * 1 – (-10) + 8 | / sqrt(2^2 + (-1)^2)
d = | 20 | / sqrt(4 + 1)
d = 20 / sqrt(5)
Геометрическая интерпретация отклонения от точки C до прямой AB – это расстояние от точки C до самой близкой точки на прямой AB.