Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами цилиндра.
Из условия задачи известно, что диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм. Поскольку диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного плоскостью основания и образующей цилиндра, мы можем выразить радиус R основания этого треугольника через диагональ и угол α между диагональю и образующей.
Разделим треугольник пополам, получим два прямоугольных треугольника со сторонами R и смежным катетом R. Таким образом, sin α = R / (8/2) = R / 4.
Так как нам дан угол α равный 45°, используем тригонометрическое соотношение, cos α = sin(90° – α), где α = 45°. Таким образом, cos α = R / 4.
Используем связь между косинусом и синусом в прямоугольном треугольнике: cos α = √(1 – sin² α).
Подставим значения и решим уравнение: √(1 – (R / 4)²) = R / 4.
Возводим уравнение в квадрат и решаем: 1 – (R / 4)² = (R / 4)².
Переносим R² на одну сторону: 1 = 2(R / 4)².
Упрощаем: R² / 8 = 1.
Переносим константу на другую сторону: R² = 8.
Находим значение R: R = √8 = 2√2.
Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нужно найти площади обоих оснований и боковой поверхности цилиндра.
Площадь одного основания равна πR² = π(2√2)² = 8π.
Площадь боковой поверхности цилиндра равняется периметру основания, умноженному на высоту цилиндра, равной R√2: 2πR·R√2 = 4πR²√2 = 4π(2√2)²√2 = 32π.
Общая площадь полной поверхности цилиндра равна: 2cdot 8pi + 32pi = 48pi.
Итак, площадь полной поверхности цилиндра равна 48π (или примерно 150,796 дм²).