Чтобы найти радиус окружности, воспользуемся теоремой о свойствах касательных и секущих. Утверждается, что произведение отрезков, составленных с внешней точкой sec(сяющая), равно произведению отрезков, получающихся в таком же порядке с двумя точками касания sec с окружностью.
По условию задачи, мы имеем секущую CD и эталонный диаметр AB. Отсюда BN*DN = AN*CN, где AN – понадобится нам далее.
Из теоремы Талеса мы знаем, что в треугольниках BND и ANC прямые углы комплементарны.
Имеем следующие соотношения:
AN/BN = CN/DN,
AN/(BN – AN) = CN/(DN – CN).
Заметим также, что AN = BN – DN – CN = 4 – 8 – 6 = -10 и AN/(BN – AN) = 10/(-6) = -5/3.
Из полученной пропорции следует, что CN/(DN – CN) = (-5/3)/(DN – CN) = -5/3.
Полученное уравнение является квадратным уравнением относительно CN. Решив его, мы найдём, что значением CN является (8/3) – (2/3)*sqrt(34).
Итак, радиус окружности будет равен половине длины диаметра, то есть r = AB/2 = (BN – CN)/2 = [4 – (8/3) + (2/3)*sqrt(34)]/2 = (2/3) + (1/3)*sqrt(34).