Пусть длина перпендикуляра, опущенного на плоскость α из точки, равна l, а длина наклонной, проведенной к плоскости α, равна 2l.
Построим треугольник АВС, где А – точка, B – основание перпендикуляра, C – точка на плоскости α, и BC – наклонная.
Так как длина перпендикуляра меньше длины наклонной в два раза, то AB = l, а BC = 2l.
Пусть α – угол между наклонной и плоскостью α.
Нам дано, что длина перпендикуляра к плоскости α из точки в два раза меньше длины наклонной, проведенной к этой же плоскости α. Поэтому, AC = 2l.
В треугольнике ABC, по теореме косинусов, мы можем найти косинус угла α:
cos(α) = (AB^2 + AC^2 – BC^2) / (2 * AB * AC)
Подставляем известные значения:
cos(α) = (l^2 + (2l)^2 – (2l)^2) / (2 * l * 2l)
cos(α) = (l^2 + 4l^2 – 4l^2) / (4l^2)
cos(α) = 5 / 4
Тангенс угла α равен отношению синуса косинуса:
tg(α) = sin(α) / cos(α)
sin^2(α) + cos^2(α) = 1
sin(α) = √(1 – cos^2(α))
tg(α) = √(1 – cos^2(α)) / cos(α)
Подставляем значение cos(α) = 5 / 4:
tg(α) = √(1 – (5 / 4)^2) / (5 / 4)
tg(α) = √(1 – 25 / 16) / (5 / 4)
tg(α) = √(16 / 16 – 25 / 16) / (5 / 4)
tg(α) = √(-9 / 16) / (5 / 4)
tg(α) = (3i/4) / (5 / 4)
tg(α) = 3i/5
Таким образом, тангенс угла α равен 3i/5.