Для начала докажем, что отрезок между центром гиперболы и директрисой действительно равен полуоси.
Заданная гипербола имеет каноническое уравнение:
x²/a² – y²/b² = 1,
где a и b – большая полуось и малая полуось гиперболы.
Центр гиперболы находится в точке (0, 0).
Директриса определяется уравнением x = ±a/e, где e – эксцентриситет гиперболы, определяемый как e = sqrt(a² + b²) / a.
Заданная гипербола имеет эксцентриситет е = sqrt(9 + 4) / 3 = sqrt(13) / 3.
Значит, уравнение директрисы будет: x = ±3 / (sqrt(13) / 3) = ± 9 / sqrt(13).
Расстояние между центром гиперболы и директрисой будет равно модулю разности координат этих точек по оси x:
|x – x1| = |0 – (±9 / sqrt(13))| = 9 / sqrt(13).
Доказали, что отрезок между центром гиперболы и директрисой действительно равен полуоси.
Теперь построим директрисы для заданной гиперболы x² / 9 – y² / 4 = 1.
Из соотношения x = ±a/e получаем, что x = ±3 / (sqrt(9/4 + 1) / 3) = ± 3 / (sqrt(13) / 3) = ±9 / sqrt(13).
Таким образом, директрисы для данной гиперболы имеют уравнения x = ±9 / sqrt(13).