Для доказательства того, что прямые AC и BD1 перпендикулярны, мы можем использовать два известных свойства векторов – свойства перпендикулярности и свойства ортогональных векторов.
Шаги решения:
1. Обозначим векторы AC и BD1 как векторы a и b соответственно. Вектор a можно получить, вычислив разность координат точек A и C: a = C – A. Аналогично, вектор b можно получить из разности координат точек B и D1: b = B – D1.
2. Докажем, что векторы a и b ортогональны с помощью свойства ортогональных векторов. Ортогональные векторы имеют скалярное произведение, равное нулю: a * b = 0. Записывая векторы a и b как координатные столбцы, у нас есть следующее: a * b = (C – A) * (B – D1) = (Cx – Ax)(Bx – Dx) + (Cy – Ay)(By – Dy) + (Cz – Az)(Bz – Dz). Если продолжим вычисления, то у нас получится следующее: a * b = (Cx – Ax)(Dx – Bx) + (Cy – Ay)(Dy – By) + (Cz – Az)(Dz – Bz).
3. Теперь мы должны показать, что a * b = 0. Для этого заметим, что в прямоугольной системе координат координаты вектора равны разности координат конечной точки и начальной точки вектора. Используя это наблюдение, мы можем раскрыть скобки в выражении для a * b: a * b = CxDx – CxBx – AxDx + AxBx + CyDy – CyBy – AyDy + AyBy + CzDz – CzBz – AzDz + AzBz.
4. Теперь заметим, что координаты точек A1, B1, C1, D1 исходного куба отличаются от координат точек A, B, C, D только значками. То есть, например, координаты точки A1 равны (Ax, -Ay, Az). Аналогично, координаты точки D1 равны (-Dx, Dy, -Dz). Подставляя эти значения в выражение для a * b, получим a * b = Cx(-Dx) – CxBx – Ax(-Dx) + AxBx + CyDy – Cy(-Dy) – AyDy + Ay(-Dy) + Cz(-Dz) – CzBz – Az(-Dz) + AzBz.
5. Используя коммуникативное свойство сложения, можно упростить это выражение: a * b = -Cx Dx – Cx Bx + Ax Dx + Ax Bx – Cy Dy + Cy Dy – Ay Dy – Ay Dy – Cz Dz + Cz Bz + Az Dz – Az Bz.
6. Теперь мы видим, что все слагаемые в этом выражении сокращаются два раза, кроме -Cx Dx и -Cz Dz. То есть, a * b = – Cx Dx – Cz Dz.
7. Очевидно, что a * b = 0, только если – Cx Dx = 0 и – Cz Dz = 0. Это верно, если Cx = 0 и Cz = 0, иначе говоря, если координаты точки С равны (0, Cy, 0). Это означает, что прямая AC перпендикулярна прямой BD1.
Таким образом, мы доказали, что в кубе ABCDA1B1C1D1 прямые AC и BD1 перпендикулярны.