Для начала рассмотрим плоскость, проходящую через грани ABCDEF и параллельную плоскости A1B1C1D1E1F1. Обозначим эту плоскость как π1.
Так как все грани шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 параллельны друг другу, то все их стороны также параллельны. Поэтому прямые AA1 и CC1 лежат в параллельных плоскостях α и β соответственно, где α и β – плоскости, проходящие через стороны параллелограммов ABCD и CDEF соответственно.
Докажем, что плоскостям α и π1 можно провести общую перпендикулярную. Рассмотрим отрезок AC, соединяющий противоположные вершины параллелограмма ABCD. Так как прямые AA1 и CC1 параллельны, то отрезки АА1 и СС1 также параллельны.
Пусть точка М – середина отрезка AC. Так как М лежит на стороне параллелограмма ABCD, М также лежит в плоскости α. Также, М лежит на отрезке А1С1 в плоскости π1. Следовательно, М лежит в пересечении плоскостей α и π1.
Построим плоскость, проходящую через точку М и перпендикулярную к плоскостям α и π1. Обозначим ее как γ. Из построения следует, что плоскость γ параллельна плоскости ABCDEF и пересекает плоскость A1B1C1D1E1F1. Таким образом, плоскость γ является общей перпендикулярной для плоскостей α и π1.
Таким образом, мы доказали, что плоскостям α и π1 можно провести общую перпендикулярную. А это значит, что прямые AA1 и CC1, лежащие в этих плоскостях, параллельны.
Аналогично можно доказать, что прямые AA1 и DD1 также параллельны, поскольку можно провести общий перпендикуляр для плоскостей α и плоскости, проходящей через стороны параллелограммов ABCD и DEFE.
Таким образом, мы доказали, что прямые AA1 и CC1, а также AA1 и DD1 параллельны.