Прежде чем приступить к доказательству, введем следующие обозначения:
– Пусть есть две параллельные прямые l1 и l2.
– Пусть есть плоскость, которая пересекает прямую l1 в точке A.
1. Шаг: Предположим, что плоскость не пересекает прямую l2.
– Следовательно, все точки прямой l2 лежат в плоскости.
– Но по определению параллельных прямых, prl1 является вторым пересечением всех параллельных прямых с l1.
– Таким образом, prl1 также должна лежать в обоих параллельных прямых.
– Это означает, что прямая l2 должна пересекать плоскость, иначе точка пересечения прямой l2 и плоскости будет извне плоскости, что противоречит предположению.
2. Шаг: Заключение.
– Мы пришли к противоречию, исходя из предположения, что плоскость не пересекает прямую l2.
– Следовательно, плоскость должна пересекать и прямую l2.
– Таким образом, если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Таким образом, задача доказана. Плоскость обязательно пересекает обе параллельные прямые, если она пересекает одну из них.