Докажите, что если плоскость пересекает плоскость трапеции по прямой, что содержит её среднюю линию, то она параллельна основаниям трапеции.

Пусть дана плоскость, которая пересекает плоскость трапеции по прямой, содержащей её среднюю линию. Предположим, что эта плоскость не параллельна основаниям трапеции.

Возьмем две точки: одну на каждом основании трапеции. Изобразим линию, проходящую через эти точки – это основание трапеции. Как на рисунке ниже.

____D___________________C____
/
/
/
/ _____________________
/____A____________________B____

_______плоскость__________

Поскольку плоскость пересекает плоскость трапеции и содержит ее среднюю линию, она пересечет и линию, проходящую через точки A и B, которая является одним из оснований. Вместе с этой линией она образует угол с основанием, пересечение которого указано буквой D. Также плоскость пересекает и вторую сторону трапеции, образуя точку C.

Теперь, если плоскость, проходящая через среднюю линию трапеции, не параллельна основаниям, все точки пересечения должны находиться на кривой линии, а не на прямой. Однако средняя линия является прямой линией, поэтому это противоречит условию задачи.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что плоскость, проходящая через среднюю линию трапеции, параллельна ее основаниям.